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Die Van-Cittert-Dekonvolution (benannt nach Pieter Hendrik van Cittert) ist ein Verfahren, um die Faltung eines Bildes g mit einer Filtermaske (PSF) h rückgängig zu machen (Dekonvolution/inverse Filterung). Sie kann zur Verbesserung der Bildqualität benutzt werden, wenn das Bild zum Beispiel durch ein unscharfes Objektiv o. ä. „verwaschen“ wurde. Das Bild g stellt das ideale Bild dar, das man als Ergebnis des Verfahrens erhalten möchte. Das verwaschene Bild f, das den Ausgangspunkt des Verfahrens darstellt, wird beschrieben durch:

f = H g = g ∗ ∗ h {\displaystyle f={\mathcal {H}}\ g=g*h}

Hier entspricht H {\displaystyle {\mathcal {H}}} dem Filteroperator, der durch Faltung mit h dargestellt wird. Ziel ist es, folgenden Ausdruck zu berechnen:

g = H − − 1 f {\displaystyle g={\mathcal {H}}^{-1}\ f}

Die Van-Cittert-Dekonvolution approximiert diesen durch eine iterative Formel:

g 0 = f {\displaystyle g_{0}=f\,}

g k + 1 = f + ( I − − H ) g k = f + ( I − − h ) ∗ ∗ g k {\displaystyle g_{k+1}=f+({\mathcal {I}}-{\mathcal {H}})g_{k}=f+(I-h)*g_{k}}

Dabei ist I {\displaystyle {\mathcal {I}}} ein Operator, dessen Punktantwort I einem Delta-Puls entspricht (überall 0, nur in der Mitte 1). Die Operation I g k {\displaystyle {\mathcal {I}}g_{k}} ergibt also gerade g k {\displaystyle g_{k}} . Die Stärke der Rückfaltung hängt von der Anzahl der Iterationsschritte k ab. Je mehr Iterationsschritte durchgeführt werden, desto stärker ist die Rückfaltung (Schärfung). Dafür wird das Bildrauschen bei zu großer Anzahl an Iterationen verstärkt und somit das Bild wieder undeutlich.

• Beispiel

• Herleitung

• Literatur

Die folgenden Bilder zeigen die Anwendung der Van-Cittert-Iteration auf ein weichgezeichnetes Bild (3×3-Gauß-Filter):

Im Fourierraum wird die Faltung zu einer punktweisen Multiplikation, sodass gilt:

g ^ ^ = f ^ ^ ⋅ ⋅ h ^ ^ − − 1 = f ^ ^ h ^ ^ {\displaystyle {\hat {g}}={\hat {f}}\cdot {\hat {h}}^{-1}={\frac {\hat {f}}{\hat {h}}}}

Dies lässt sich leicht berechnen, wenn die Übertragungsfunktion h ^ ^ {\displaystyle {\hat {h}}} keine Nullstellen enthält, da sonst eine Division durch 0 nötig wäre. Um dieses Problem zu umgehen, führt man h ^ ^ ′ = 1 − − h ^ ^ {\displaystyle {\hat {h}}'=1-{\hat {h}}} ein. Damit gilt dann:

g ^ ^ = f ^ ^ h ^ ^ = f ^ ^ 1 − − h ^ ^ ′ ≈ ≈ ( 1 + h ^ ^ ′ + h ^ ^ ′ 2 + h ^ ^ ′ 3 + … … ) ⋅ ⋅ f ^ ^ {\displaystyle {\hat {g}}={\frac {\hat {f}}{\hat {h}}}={\frac {\hat {f}}{1-{\hat {h}}'}}\approx (1+{\hat {h}}'+{\hat {h}}'^{2}+{\hat {h}}'^{3}+\ldots )\cdot {\hat {f}}}

Im letzten Schritt wurde eine Taylor-Entwicklung durchgeführt. Dabei wird der Term ( 1 − − h ^ ^ ′ ) − − 1 {\displaystyle (1-{\hat {h}}')^{-1}} um die invariante Abbildung h ^ ^ = 1 {\displaystyle {\hat {h}}=1} , bzw. h ^ ^ ′ = 0 {\displaystyle {\hat {h}}'=0} entwickelt. Im Ortsraum ergibt dieser Ausdruck:

g = H − − 1 f ≈ ≈ ( I + H ′ + H ′ 2 + H ′ 3 + … … ) f {\displaystyle g={\mathcal {H}}^{-1}f\approx ({\mathcal {I}}+{\mathcal {H}}'+{\mathcal {H}}'^{2}+{\mathcal {H}}'^{3}+\ldots )f} mit H ′ = I − − H {\displaystyle {\mathcal {H}}'={\mathcal {I}}-{\mathcal {H}}} .

Unter Ausnutzung des Horner-Schemas für dieses Polynom erhält man obige Iterationsvorschrift:

g 0 = f {\displaystyle g_{0}=f}

g k + 1 = f + ( I − − H ) g k = f + ( I − − h ) ∗ ∗ g k {\displaystyle g_{k+1}=f+({\mathcal {I}}-{\mathcal {H}})g_{k}=f+(I-h)*g_{k}}

• P. H. van Cittert: Zum Einfluß der Spaltbreite auf die Intensitätsverteilung in Spektrallinien. II. In: Zeitschrift für Physik. Band 69, Nr. 5, 1. Mai 1931, S. 298–308, doi:10.1007/BF01391351.

• Bernd Jähne: Digitale Bildverarbeitung. 6. Auflage, Springer, 2005, ISBN 3-540-24999-0.